Das Wetter - oder Ursache und Wirkung
Die Nachrichten im ZDF sind vorüber, es kommt nun noch Gunter Tiersch mit der Wettervorhersage für morgen und die nächsten Tage. Er verspricht Sonnenschein und angenehme Temperaturen – wir planen einen Ausflug oder einen Spaziergang ”ins Grüne”.
Die Ernüchterung am nächsten Tag. Es ist grau, kalt und ungemütlich. Als wir noch unseren Garten hatten, habe ich während einer Trockenperiode häufiger das Gießen unterlassen, weil für den nächsten Tag Regen angesagt war. Die Hitze hielt an und es fiel kein einziger Tropfen vom Himmel. Erst wenn ich mich dann aufraffte und die Pflanzen und Blumen ausgiebig gewässert hatte begann der tagelange Dauerregen.
Gut, wenn man sich über die Zuverlässigkeit von Wettervorhersagen etwas ausgiebiger informiert, landet man sehr schnell bei Abhandlungen über die Chaostheorie. In einem derartigen, dynamischen System – wie es das Wetter nun einmal ist – können die geringsten Änderungen der Anfangsbedingungen Ursache dafür sein, dass das System (das Wetter) total andere Zustände annimmt und nicht vorhersagbar ist. Kleinste Änderungen der Ursache können große Änderungen in der Wirkung zur Folge haben.
”Kann der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas auslösen ? ”
Diese Fragestellung war das Thema eines Vortrags des Meteorologen E.N. Lorenz im Jahre 1972, sie wird allgemein unter dem Begriff ”Schmetterlingseffekt” zitiert. Die Idee kam Lorenz bei seiner Arbeit an einem Projekt, das Wettervorhersagen verbessern sollte. Er stellte fest, dass schon eine minimale Änderung der Anfangsbedingungen eines simulierten Wetter-Systems grundsätzlich verschiedene Vorhersagen für spätere Zeitpunkte zur Folge hat.
Der Schmetterlingseffekt ist heute vielleicht nicht viel mehr als nur eine originelle Metapher. Aber sie stand am Beginn der Chaostheorie, die sich seit den 60er und 70er Jahren zu einem wichtigen Teilgebiet der Mathematik und Physik gemausert hat.
Dabei fällt mir ein, dass die Einordnung des Wetters als klassisches chaotisches System schon lange vor Lorenz erkannt und in einer Bauernregel beschrieben worden ist :
”Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist.”
Ich fand die Fragestellung : kleine Änderung einer ”Ursache” und großer Einfluss auf die ”Wirkung” interessant. Bei der Suche nach einem möglichst einfachen Modell entstand folgende Idee.
In einem innen verspiegelten Kasten befindet sich eine ebenfalls verspiegelte Kugel. In dieses Gebilde fällt durch ein kleines Loch ein scharf gebündelter Lichtstrahl und wird nun im Inneren hin und her reflektiert. Als räumliches Gebilde bestimmt kompliziert zu behandeln. Auf ein ebenes Modell reduziert wird daraus ein Rechteck (Quadrat) mit innen verspiegelten Kanten und darin befindet sich ein Kreis, der ebenfalls reflektiert.
Der erste Versuch, den Verlauf des Lichtstrahls mathematisch durch Kreisgleichung und Geradengleichungen und dem Reflexionsgesetz
Kreis : x² + y² = r²
Gerade : a x + b y + c = 0
Reflexion : α = α´ (Einfallswinkel = Reflexionswinkel)
zu beschreiben, stellte sich schnell als ziemlich komplex dar.
(Aber ich bin noch dran und habe noch nicht aufgegeben. Wen es interessiert, im Anhang - FAQ - finden sich Überlegungen und Ansätze dazu.)
Die geometrische Konstruktion des Strahlenverlaufs in nebenstehendem Bild lässt erkennen, was dabei prinzipiell passieren kann.
Der grüne Strahl, der senkrecht, in Richtung auf den Kreismittelpunkt eintritt, wird in sich selbst reflektiert. Er läuft immer nur hin und her und tritt gar nicht in den Raum um den Kreis ein.
Der blaue Strahl mit einem kleinen Eintrittswinkel geistert in dem Raum um den Kreis herum. Der rote Strahl, mit etwas größerem Einfallswinkel kommt (zumindest anfangs) noch nicht in den oberen linken Quadranten.
Nun, der Unterschied der Anfangsbedingungen mag in der Zeichnung nicht sehr klein sein, aber die ”Wirkung” auf den Strahlverlauf wird schnell deutlich.
Der Verlauf des Lichtstrahls ist in diesem Modell, da das System nicht dynamisch ist, sicher nicht chaotisch. Aber was passiert, wenn sich der Kreis oder auch das Quadrat oder beide bewegen würden ? Oder wenn man den Kreis durch ein Polyeder ersetzt ? In einem dreidimensionalen Modell wäre das dann so etwas wie eine Discokugel.
Das ist zeichnerisch nicht mehr zu bewerkstelligen –
und der analytische Ansatz ……………………
……..ich glaube, ich habe die Trauben viel zu hoch gehängt.
P.S. Aber an dem ebenen, einfachen Modell versuche ich mich doch noch. Der Anreiz so etwas zu programmieren ist beträchtlich.