Lyapunov-Exponent  λ

In kontinuierlichen Systemen wird die Auswirkung einer kleinen Störung nach einer Zeit t durch Multiplikation mit dem Term eλt beschrieben. Für iterative Berechnungen ist die schrirttweise Änderung der Störung durch Multiplikation mit eλn gegeben. Ist λ > 0, so wächst die Störung an. Dies ist die Definition von Chaos und das Wachstum der Störung wird oft als "Schmetterlingseffekt" bezeichnet. Für
λ < 0 werden Störungen gedämpft und nach dem Abklingen möglicher Übergangszustände werden dann Fixpunkte oder periodische Vorgänge erreicht.

Lyap_b1

Wächst eine Störung  dxi auf dxi+1 im nächsten Zeitschritt an, so gilt also

Lyap_f3

wobei λi der Beitrag zu λ im Zeitschritt i ist. Es ist also

Lyap_f4

und λ ist durch den Mittelwert

Lyap_f5

gegeben

Hieraus folgt, dass man für eine allgemeine Funktion (so auch die logistische Gleichung)

die Ableitung

Lyap_f6

bestimmen, den Logarithmus davon berechnen und dessen Mittelwert über eine große Anzahl von Zeitschritten ermitteln muss.

Für die Farbumsetzung der so errechneten Lyapunov-Exponenten λ ist es reizvoll, bei  λ = 0  einen Farbsprung einzusetzen. Der Übergang von stabilen Bereichen zum Chaos wird dadurch besonders betont. Der Farbsprung führt dazu, dass die Bilder oft einen 3D-Effekt erhalten. In dem Bereich mit λ < 0  werden die Farben in diskreten Schritten oder meist kontinuierlich verändert.

Bei Schwarz-Weiß-Bildern erfolgt der Farbsprung bei dem Übergang von λ < 0 nach λ > 0  von hellen Grauwerten (ggf. weiß) nach schwarz. Der gesamte Bereich mit λ > 0 wird dann schwarz gezeichnet. Im Bereich mit λ < 0 werden den Lyapunov-Exponenten Grauwerte in der Weise zugeordnet, dass sich der Grauton von schwarz, (bei den größten negativen Werten) zu helleren Grautönen und schießlich weiß (beim Übergang λ = 0 ) verschiebt. 

Bei den Farbbildern werden Farben und Farbabstufungen in analoger Weise dem Exponenten λ zugeordnet. Darüberhinaus sind jedoch auch im Bereich von λ > 0  Farbvariationen möglich.

Lyap_b2

War das zu viel Mathematik ? Der Schmetterlings-Effekt, nach dem der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas auslöst ? Unglaubwürdig ?

Dann etwas zum Lesen. Zum Entspannen aber trotzdem spannend :

Matt Dickinson, "Die Macht des Schmetterlings" AnkerLink  L5

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