In kontinuierlichen Systemen wird die Auswirkung einer kleinen Störung nach einer Zeit t durch Multiplikation mit dem Term eλt beschrieben. Für iterative Berechnungen ist die schrirttweise Änderung der Störung durch Multiplikation mit eλn gegeben. Ist λ > 0, so wächst die Störung an. Dies ist die Definition von Chaos und das Wachstum der Störung wird oft als "Schmetterlingseffekt" bezeichnet. Für
λ < 0 werden Störungen gedämpft und nach dem Abklingen möglicher Übergangszustände werden dann Fixpunkte oder periodische Vorgänge erreicht.
Wächst eine Störung dxi auf dxi+1 im nächsten Zeitschritt an, so gilt also
wobei λi der Beitrag zu λ im Zeitschritt i ist. Es ist also
und λ ist durch den Mittelwert
gegeben
Hieraus folgt, dass man für eine allgemeine Funktion (so auch die logistische Gleichung)
die Ableitung
bestimmen, den Logarithmus davon berechnen und dessen Mittelwert über eine große Anzahl von Zeitschritten ermitteln muss.
Für die Farbumsetzung der so errechneten Lyapunov-Exponenten λ ist es reizvoll, bei λ = 0 einen Farbsprung einzusetzen. Der Übergang von stabilen Bereichen zum Chaos wird dadurch besonders betont. Der Farbsprung führt dazu, dass die Bilder oft einen 3D-Effekt erhalten. In dem Bereich mit λ < 0 werden die Farben in diskreten Schritten oder meist kontinuierlich verändert.
Bei Schwarz-Weiß-Bildern erfolgt der Farbsprung bei dem Übergang von λ < 0 nach λ > 0 von hellen Grauwerten (ggf. weiß) nach schwarz. Der gesamte Bereich mit λ > 0 wird dann schwarz gezeichnet. Im Bereich mit λ < 0 werden den Lyapunov-Exponenten Grauwerte in der Weise zugeordnet, dass sich der Grauton von schwarz, (bei den größten negativen Werten) zu helleren Grautönen und schießlich weiß (beim Übergang λ = 0 ) verschiebt.
Bei den Farbbildern werden Farben und Farbabstufungen in analoger Weise dem Exponenten λ zugeordnet. Darüberhinaus sind jedoch auch im Bereich von λ > 0 Farbvariationen möglich.
War das zu viel Mathematik ? Der Schmetterlings-Effekt, nach dem der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas auslöst ? Unglaubwürdig ?
Dann etwas zum Lesen. Zum Entspannen aber trotzdem spannend :
Matt Dickinson, "Die Macht des Schmetterlings" L5