Biotop der Käferchen
Unsere Käfer sind ja sehr gut getarnt, aber was kann mit der Zahl der Individuen von Generation zu Generation passieren ?
Die Population in der Generation (n+1) sei proportional zu der Anzahl der Käfer in der Generation n. Für die Anzahl zn+1 kann man also schreiben :
wobei man sich unter r die Vermehrungsrate oder die Fruchtbarkeit vorstellen kann. Die Anzahl zn+1 ist dann der Ausgangswert für die Berechnung der Anzahl der Käfer in der Generation (n+2). Das führt also zu einem Rückkopplungsmechanismus der Form :
Daraus ergibt sich, dass für r < 1 die Anzahl immer kleiner wird, die Käfer sterben aus. Für r > 1 dagegen resultiert ein exponentielles Wachstum der Population. Das ist allerdings nicht unbegrenzt möglich. Die Population wird abnehmen, wenn ein Schwellenwert von zmax überschritten wird. Durch ein begrenztes Nahrungsangebot in dem zur Verfügung stehenden Lebensraum und verhungern wird die Zahl der Individuen abnehmen. Andererseits wird eine Population unterhalb des Schwellenwertes wieder zunehmen. Dieses läßt sich durch folgende Formel beschreiben.
Bezeichnet man als xn den Anteil der Individuen in der Generation n in Relation zu der maximal möglichen Zahl zmax (Division der Gleichung durch zmax), so vereinfacht die Formel zu
Man kann ableiten, dass es für diese Beziehung Gleichgewichtswerte gibt, bei denen sich die Zahl der Individuen von Generation zu Generation nicht ändert. Für diese Situation muss gelten
Es ergibt sich daraus die triviale Lösung x* = 0, sowie die nicht-triviale Lösung
also zum Beispiel für eine Vermehrungsrate r = 3 ein Gleichgewichtswert von x* = 0,667.
Interessant ist nun der zeitlich Verlauf der Populationsdichte für verschiedene Werte von xo und r.
Für einen Fall von r < 1, bei dem die Käferpopulation ausstirbt : mit r = 0.9, xo = 0.5 und n = 20 Generationen
mit r = 2.5, xo = 0.5 und n = 20 stellt sich nach wenigen Generationen der Gleichge- wichtswert von 0.6 ein
mit r = 3, xo = 0.5 und n = 20 resultieren periodische Schwankungen zwischen zwei Werten
mi r = 3.7, xo = 0.5 und hier für 80 Generationen treten völlig willkürliche Schwankungen auf
Dieses Chaos beginnt bei Werten ab r = 3.57. Hier ist keinerlei Periode mehr zu beobachten, kein Wert wiederholt sich. Außerdem führen nur geringfügige Unterschiede in den Anfangsbedingungen zu einem völlig divergenten Systemverhalten wie das folgende Bild für r = 4 erkennen läßt.
Werte für xo = 0.8 (rot), 0.801 (blau) und 0.799 (grün).
Wenn man sich für andere Werte der Parameter anschauen möchte, welche Folgen das auf nacheinander folgende Generationen der Käferchen hat, kann auf dieser Seite beliebige Werte für r, xo und n eingeben.
Zugegeben, mit dem Anfang der Geschichte, dem Schokoladenkäferchen auf dem Sideboard, hat das nicht mehr mehr allzuviel zu tun. Ich habe mich aber gerne von dem ”Vernaschen von etwas Schokoladigem” in diesen Winkel der der Mathematik entführen lassen. Es ist ja ein Ziel dieses Projektes Verknüpfungen vom ”täglichen Allerlei” zur Mathematik aufzufinden.