Goldener Schnitt – eine magische Zahl φ
Der goldene Schnitt φ = 1,6180339.…ist eine geheimnisvolle Zahl, die in vielen Bereichen auftritt – oder in noch mehr Beobachtungen hinein interpretiert wird. Dabei ist die Definition schon sehr alt und beschäftigt die Mathematiker seit langer Zeit und bis heute. In dem ersten Mathematikbuch der Welt, in den ”Elementen” des Euklid (etwa 300 v.Chr.) findet sich die Definition in einer, wie ich finde, sehr schönen formulierten Aufgabe:
”Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist.”
d.h. die Gesamtstrecke M+m so zu teilen, dass
(M+m)·m = M·M
ist.
Mit ein bisschen Umformung der Gleichung und m/M = φ kommt man zu der Gleichung wie in dem Abschnitt über Miró :
Der goldene Schnitt, die Zahl φ ist eine irrationale Zahl. Mathematisch bedeutet das, dass es kein endlicher und auch kein periodischer Dezimalbruch ist, dass er nie aufhört und auch nie in ein Muster mündet. Aber auch außerhalb der Mathematik ist der Umgang mit dem goldenen Verhältnis nicht immer rational. So sucht(e) man den goldenen Schnitt an verschiedenen Stellen bei der Unterteilung des menschlichen Körpers. Der Bauchnabel, der die Körpergröße im Verhältnis des goldenen Schnitts teilt oder die Unterteilung des Gesichts oder der Gelenke an den Fingern. Nun, bei meinen Fingern muss man schon sehr großzügig messen.
Auch in vielen Kunstwerken, sei es die Venus von Milo oder Mona Lisa – und ich selbst habe es ja auch bei Miró getan – wurde nach dem goldenen Schnitt im Bildaufbau gesucht ............. und gefunden.
Als Beispiel aus der antiken Architektur wird gern das Parthenon herangezogen, in dem Breite und Höhe sowie viele andere Proportionen im Verhältnis des goldenen Schnitts stehen (sollen). In der modernen Architektur hat sich allerdings Le Corbusier eindeutig zu der Bedeutung des goldenen Schnittes bekannt. Er entwickelte ein spezielles Maßwerkzeug, mit dem eine Aufteilung im goldenen Schnitt besonders einfach möglich ist. Für den Grafiker, Designer und Maler Jo Niemeyer (geb. 1946) steht der goldene Schnitt ebenfalls im Mittelpunkt seines Schaffens und seiner Forschungen. 
N1.
Dabei entdeckte er eine bis dato unbekannte Konstruktionsmöglichkeit des goldenen Schnittes. Ausgehend von drei gleichlangen Stäben, auf denen bei zweien die Mitte markiert ist, werden wie auf dem Bild dargestellt, angeordnet. Der erste Stab senkrecht, der zweite von dessen Mittelpunkt zur Waagerechten und der dritte wieder vom Mittelpunkt des zweiten Stabes zur Waagerechten. Dann teilt der Punkt B die Waagerechte A,C im Verhältnis des goldenen Schnittes.
Ich habe etwas gezweifelt, aber es lässt sich beweisen. 
N2.
Eine Figur in der von goldenem Schnitt nur so ”wimmelt” ist das reguläre Fünfeck. Verbindet man die Ecken des Fünfecks durch Diagonale, so entsteht ein fünfzackiger Stern, ein Pentagramm. Die Schnittpunkte dieser Diagonalen unterteilen jeweils zwei andere Diagonalen im Verhältnis des goldenen Schnittes.
Und im Inneren entsteht ein neues Fünfeck, dessen Diagonalen ……..
Treibt man die Unterteilung noch etwas weiter – erscheinen noch mehr Fünfecke, deren Diagonalen ……………
und das lässt sich beliebig fortsetzen.
Es geht dann sogar noch weiter.
Das rote Dreieck an der Spitze ist das sogenannte ´spitze goldene Dreieck´. Die Basis dieses Dreiecks zu den Schenkellängen : φ !
An dem anderen ´spitzen Dreieck´ (blau) sieht man die Winkel-halbierende (violett) schneidet die Seitenlänge im Verhältnis φ !
Dann gibt es noch die ´stumpfen goldenen Dreiecke´ (rechts, dunkel-grün). Die langen Schenkel im Verhältnis zur Basis auch wieder goldener Schnitt φ
Wahnsinn !!
Kein Wunder, dass das reguläre Fünfeck - bei so viel ”Perfektion” - für die griechischen Mathematiker eine besondere Stellung einnahm. Das aus 12 Fünfecken zu formende Dodekaeder galt für sie als Sinnbild des Universums. Dass sich aber bei so vielen ”guten” Eigenschaften aus regulären Fünfecken kein Parkett legen lässt, war für Mathematiker und Künstler in der Vergangenheit ein Drama. Kepler entwickelte ein hochkomplexes Parkett, das aus Fünfecken, Pentagrammen und verschmolzenen Zehnecken zusammengesetzt ist. (Bei dem Thema ´Parkettierungen´ komme ich bestimmt darauf zurück).