Feigenbaum Diagramm
Das Feigenbaum-Diagramm charakterisiert das Verhalten der logistischen Gleichung in Abhängigkeit von dem Parameter r auf eine sehr anschauliche Weise.
In dem Feigenbaumdiagramm sind die Werte xN gegen r aufgetragen. Dabei ist xN der Wert, der nach N Iterationen erhalten wird. Dabei wird für jeden Wert von r eine Reihe von Startwerten x0 zwischen 0 und 1 gewählt und für die Kombination x0 und r die logistische Gleichung N mal iteriert. Bei den so berechneten Werten xN wird dann bei r in dem Diagramm ein Punkt eingezeichnet. Dieses wird für den gesamten Wertebereich von r durchgeführt.
Jeder Punkt im Diagramm ist das Resultat von einer festgelegten Zahl von N Iterationen für einen bestimmten Startwert x0 und einen bestimmten Parameter r. In den Bereichen, wo einzelne Linien sichtbar sind, konvergieren die Startwerte bei einem bestimmten r-Wert auf dieselben Endwerte xN. Diese Werte bzw. Linien bezeichnet man deshalb als Attraktoren. In den anderen Bereichen erhält man für jeden Startwert einen anderen Endwert und jeden dieser Punkte sieht man einzeln in dem Diagramm wenn sie sie nicht zufällig oder wegen der Pixelgröße aufeinander fallen. In dem Diagramm erkennt man :
- für Werte von r ≤ 3 konvergieren die Iterationen unabhängig vom Startwert x0 auf einen nur von r abhängigen Endwert
- für r zwischen 3 und etwa 3,45 wechselt die Folge zwischen zwei Werten, Attraktoren genannt
- liegt r zwischen 3,45 und etwa 3,54 wechseln die Endwerte zwischen vier Attraktoren
- wird r größer als 3,54 stellen sich 8, dann 16, 32 Attraktoren ein
- bei r etwa 3,57 beginnt das Chaos.