Eier am Wochenende
Samstags und auch sonntags gibt es zum Frühstück ein gekochtes Ei. Gelegentlich sagen wir, dass wir als Rentner das benötigen, um unsere Woche zu strukturieren. Um zu wissen, dass Wochenende ist. Aber das stimmt nicht. Wir tragen (meist) all unsere Termine sorgfältig in den Outlook-Kalender ein und bei regelmäßiger Konsultation des Kalenders bleiben die Wochenenden auch ohne Ei nicht unbeachtet.
Auch wenn das Ei uns nicht als Gedächtnisstütze dient, so gibt es “rund ums Ei” doch einige Aspekte, deren Betrachtung im Kontext zur Mathematik, Physik und Biologie interessant ist.
Warum ist das Ei ein Ei und keine Kugel ? Das Ei enthält doch die für die Entwicklung des Kükens erforderlichen Nährstoffe und in einer Kugel stünde dafür bei kleinster Oberfläche das größte Volumen zur Verfügung. Vielleicht ist der Radius zu groß und die Henne mag sich den A…… nicht so weit aufreißen. Dann wäre ein Ellipsoid günstiger und bei kleinerem Durchmesser, aber gleichem Volumen, müsste nur die Länge größer sein. Der Effekt lässt sich ja gut abschätzen :
Kugel
Ellipsoid
Nehmen wir mal ein kleines Ei der Klassifikation ”s” (wie small) aus der Packung bei Penny. Archimedes hat mir dabei geholfen, das Volumen des Eies zu bestimmen.
Sehr schön finde ich in diesem Zusammenhang die Legende die sich laut Wikipedia darum rankt :
Archimedes war von König Hieron II. von Syrakus beauftragt worden, herauszufinden, ob dessen Krone wie bestellt aus reinem Gold wäre oder ob das Material durch billigeres Metall gestreckt worden sei. Der Überlieferung nach fand Archimedes schließlich die Lösung, als er zum Baden in eine bis zum Rand gefüllte Wanne stieg und dabei das Wasser überlief. Er erkannte, dass die Menge Wasser, die übergelaufen war, genau seinem Körpervolumen entsprach. Angeblich lief er dann, nackt wie er war, durch die Straßen und rief „Heureka!“ („Ich habe es gefunden“)
Nun, ich bin nicht nackt durch die Straßen gelaufen, aber das Volumen des Eies habe ich mit 65 cm³ ziemlich genau ermittelt.
Als Kugel müsste das Ei somit einen Radius von
haben. Also einen Durchmesser von etwa 5,0 cm.
Wenn ich mir diese Strecke auf einem Lineal anschaue ….. ganz schön dick für einen Hühnerpopo.
Was aber bringt ein elliptisches Ei für Vorteile ? Betrachtet man das Bild oben so soll der Halbmesser a geringer werden und wir nehmen dafür eine größere Länge, also einen größeren Wert für c in Kauf.
Angenommen a = 2 cm (also der Durchmesser nur 4 cm gegen 5 cm - das wäre doch eine beträchtliche Erleichterung für unser Modellhuhn) dann ergibt sich für die „Eilänge c “
c ist die Halbachse, also die Eilänge von 7,76 cm ??? Also eher eine ”Eiwurst” als ein Frühstücksei !
Auch mit anderen Kombinationen von a und c durchgerechnet -- wirklich interessante Kombinationen (für Huhn und Frühstückseiesser ) habe ich nicht gefunden ! (Übrigens : das wirkliche Ei hatte an der dicksten Stelle einen Durchmesser von 4,5 cm und eine Länge von 5,6 cm.)
Ist die Eiform vielleicht doch irgendwie ”ideal” ???
Besteht eventuell ein evolutionärer Nachteil von Kugel und Ellipsoid darin, dass beides symmetrische Drehkörper sind, die leicht wegrollen, somit leicht aus dem Nest fallen könnten. Ist es für die Anzahl des Nachwuchses günstiger, wenn die Eier nur ”herumeiern” und somit wahrscheinlicher im Nest bleiben ? Isländische Trottel- und Dickschnabellummen, die an steilen Felsklippen brüten, legen besonders asymmetrische Eier.
Insekten, aber auch Fische und Amphibien, bei denen die Eier kugelförmig sind, kleben die Eier bei der Ablage fest.
Egal ob Kugel, Ellipsoid ob mehr oder weniger dickes oder langes Ei, die mathematische Beschreibung solcher Formen ist auf vielerlei Art möglich. Wenn man ausgehend von Kreis- oder Ellipsengleichung mit variablen Parametern an Kreis oder Ellipse ”zerrt” werden Eiformen daraus.
Ein Beispiel in Parameterform :
Ist mit a =1 und b = 0.76 doch schon ziemlich ”eierig”. Mit kleinerem b wird es flacher und mit größeren Werten für b immer runder.
Mit einem etwas anderem Ansatz :
ist das Ei etwas dicker und kürzer.
(der Summand -1.0 unter der Grafik dient nur zur Verschiebung auf der x-Achse)
Zu dick für den Hühnerpopo ? Mit einem Faktor vor dem x-Term lässt sich das Ei beliebig strecken.
Nun fehlt eigentlich noch, dass das Ei auch dreidimensional wird. Das wird erreicht, in dem man die Eiform um die
x-Achse rotieren lässt.
Für die mit Gleichungen (1), (2) beschriebene Kurve gilt dann
Mathematisch geformte Eier haben wir ja nun. Kann man nun noch den für die Verpackung erforderlichen Eierkarton mathematisch beschreiben ?
Fotografisch kann dasselbe Objekt, je nach Licht, schon unterschiedlich erscheinen – und durch mathematische Formeln darstellen, geht das überhaupt ?
Die Erhebungen in dem Eierkarton stellen eine Transformationsfläche dar. Solche Transformationsflächen entstehen durch Verschiebung einer Profilkurve längs einer Leitkurve.
Die Darstellung links lässt das am Beispiel der Sinusfunktion durch die grau markierten Randkurven erkennen.
Die Profilkurve f(y) = sin(y) wird senkrecht dazu entlang der Leitkurve f(x) = sin(x) verschoben. Dieses Bild zeigt bereits eine erstaunliche Ähnlichkeit mit einer Eierpappe.
Spielt man mit Parametern noch an der Gleichung für diese Transformations-fläche
so kommt man nur mit der Sinusfunktion dem Ziel noch ein Stückchen näher.
Man kann zunächst den negativen Bereich unterdrücken und einen Boden einziehen.
Auch das Abschneiden der Spitzen - so wie auf den Fotos - und die dabei auftretenden Löcher lassen sich noch realisieren. Dass die Lochkanten dabei so realistisch ausfransen kann ich nur verwundert feststellen.
Wie auch immer – ich als Frühstücksei-Esser werde das Frühstücksei samstags und sonntags anders ansehen.