IFS
IFS steht für “Iterated Function Systems”, bezeichnet also ein System von Funktionen, die iteriert werden, d.h. immer wieder auf das erhaltene Ergebnis angewendet werden.
In der Einleitung dieses Kapitels mit dem Hinweis auf das Chaosspiel, das dann zu dem Sierpinski-Dreieck führte, ist schon ein erstes IFS-Fraktal aufgetreten. Auch dort ging es geometrisch um die wiederholte, iterativ erfolgende Abbildung (in dem Falle eines Punktes) nach einer vorgegebenen Vorschrift. Allgemein handelt es sich bei den IFS-Fraktalen um affine Abbildungen von Objekten, also um Verschiebungen, Drehungen oder auch Spiegelungen oder Streckungen und Kontraktionen.
Für das Sierpinski-Dreieck erfolgen diese iterativen Abbildungen in der Weise, dass ausgehend von einem Dreieck (Bild 1) dieses auf die halbe Größe reduziert wird und die verkleinerte Kopie dann in das Ausgangsdreieck oben, links unten und rechts unten eingefügt wird (Bild 2)
Bild 1
Bild 2
Bild 3
Dieser Vorgang wird wiederholt : verkleinern dann einfügen, oben, links, rechts (Bild 3) und wieder und wieder
Mathematisch lassen sich die affinen Abbildungen leicht behandeln und durch eine Matrix A, den Vektor p zu einem Koordinatenpunkt (x,y) und einen Verschiebungsvektor v darstellen.
ausgeschrieben
und ausmultipliziert
Man berechnet also die neuen Punktkoordinaten mit linearen Gleichungen.
Beispiele, an denen ich mir das rechnerische Vorgehen verdeutlicht habe, finden sich bei 
A1.
Die Theorie zu den iterierten Funktionen Systemen wurde von Michael Barnsley 1987 entwickelt. Von ihm stammt auch das bekannteste und sehr schöne IFS Bild, der Barnsley Farn.
Bis hierher wurden nur lineare Gleichungssysteme betrachtet.Was passiert, wenn man auch andere, nichtlineare Gleichungssysteme für die Abbildungen / Iterationen erlaubt und anwendet ?
Diese erweiterten IFS-Fraktale wurden 1992 von Scott Draves unter dem Begriff “fractal flame algorithm” eingeführt. Sie unterscheiden sich dabei in drei Punkten :
1. Nichtlineare Funktionen werden zusätzlich zu dem linearen System iteriert
2. Es werden Farben anstelle der monochromen Darstellung verwendet
3. Die Farbdarstellung wird durch Kompressionsverfahren intensiviert
Aus dem linearen Gleichungssystem
wird durch die Einführung der “Variation” Vj und die Gewichtung wj
für die Variationen Vj wurden von Draves 49 verschiedene nicht lineare Funktionen definiert, so zum Beispiel
mit
linear
sinusoidal
spherical
swirl
Puuh, ein Haufen an Formeln und Mathematik, aber ich fand das so spannend, dass ich es wissen und verstehen wollte. Denn was dann am Ende an Bildern dabei herauskommt ist, finde ich, faszinierend.
Diese Bilder als Kostprobe meiner ersten Versuche. Es werden sicherlich noch weitere Bilder folgen und die sind dann wieder in einer externen Sammlung zu finden.